Números Racionais

Em jornais e revistas, na TV e na internet são comuns notícias com números registrados de diferentes maneiras, como nos exemplos a seguir:

Aqui estão mais alguns exemplos:

Número	Como uma fração	Racional?
5	01/05	Sim
1,75	04/07	Sim
0,001	1 / 1000	Sim
0,111 ...	09/01	Sim
√ 2 (Raiz quadrada de 2)	?	NÃO!

Se você precisar medir um comprimento em metros, pode ser que o resultado não seja um número natural. Por exemplo, pode ser um número entre 1 e 2. Como indicar essa parte do metro que está entre 1 e 2?

Para situações como essas, foram criados os números racionais.

A palavra racional se refere justamente à divisão. Sua origem é ratio, que, em latim, a antiga língua dos romanos, quer dizer divisão. Veja que até hoje usamos a palavra rateio com o significado de dividir. Por exemplo, ⅓ é um número racional. Ele é o resultado de 1:3.

Número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma a/b. a/b é o quociente da divisão de a por b, em que a e b são números naturais, e b deve ser diferente de zero. a : b = a/b, com b ≠ 0.

Números com vírgula, números em forma de porcentagem, números em forma de fração. Esses números são chamados números racionais. Números racionais expressam unidades ou partes da unidade.

Teorema de Pitágoras

Matemático e filósofo grego, Pitágoras viveu por volta de 572 a.C. Pitágoras foi um matemático grego do século VI a. C. ele descobriu uma relação métrica que, até hoje, é um dos mais famosos e importantes teoremas da Matemática Nasceu na ilha de Samos. Segundo alguns relatos é possível que tenha sido discípulo de Tales de Mileto. Ele viajou por muitos lugares, como Pérsia e Egito, mas foi em Crotona, onde atualmente é a Itália, que fundou uma escola mística secreta, chamada Escola Pitagórica, que consistia em um centro de estudos de Matemática, filosofia etc. Nela, a ciência era considerada um bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições científicas conquistadas não possuíam autoria individual.

Para a formação do seu famoso teorema, é possível que Pitágoras e seus discípulos tenham se baseados nos conhecimentos geométricos dos egípcios e em mosaicos que apareciam com frequência nas paredes das construções do Egito antigo.

O nome de Pitágoras é dado esse teorema por ter sido o primeiro a demonstrá-lo, apesar de os babilônios e os egípcios já o utilizarem em construções e medições de terras. Esse teorema estabelece uma relação entre os catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo:

Em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

Poderemos verificar essa relação por meio de figuras. Para isso, considere três quadrados; cada um construído a partir de um lado do triângulo retângulo.

Note que a área do quadrado construído a partir da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos a partir dos catetos.

Esse teorema também pode ser demonstrado utilizando algumas das relações métricas no triângulo retângulo. Observe:

Nesse triângulo, temos que b²  =  a . m e c²  =  a . n. adicionando essas relações membro a membro, temos:

b² + c² = a . m +  a . n. (fatoramos a . m +  a . n. colocando a em evidência)

b² + c² = a (m + n)  (temos a . a)

b² + c² = a . a

b² + c² = a²

Portanto, a² = b² + c²

Hipotenusa era o nome dado às cordas do instrumento musical chamado lira. Essas cordas formavam triângulos retângulos com os lados do instrumentos.

 

Estudante de Pitágoras

Pitágoras acreditava que todos os números eram racionais (pode ser escrita como uma fração), mas um dos seus alunos Hippasus provou (utilizando a geometria, pensa-se) que você não poderia representar a raiz quadrada de 2 como uma fração, e por isso era irracional.

No entanto Pitágoras não podia aceitar a existência de números irracionais, porque ele acreditava que todos os números tinham valores perfeito. Mas ele não podia negar Hippasus "números irracionais" e assim Hippasus foi jogado ao mar e se afogou!

Atividades

01. Pedro e João estão brincando em um balançador, como indica a figura:

A altura máxima que pode ser atingida por cada um dos amigos é de 60 cm e, a distância entre eles, 1,8 metro. Qual o comprimento do balançador? 

02.  Em um recente vendaval, um poste de luz quebrou-se em um ponto a 4 m de altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base, formando um triângulo retângulo. Utilizando o Teorema de Pitágoras, calcule o comprimento da extremidade do poste quebrada pelo vento.

 
 

03. As porteiras formadas por ripas paralelas precisam de um reforço na diagonal para não desmontar. A ripa na diagonal dá a rigidez necessária.  Antônio precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1,5 m de altura por 2 m de comprimento. Qual é o comprimento da tábua de que ele precisa?