Origem do Sinal de Multiplicação

No século XVI,  o matemático inglês Willian Ougthtred inventou um novo sinal matemático. O símbolo × para a multiplicação foi introduzido por ele em 1631. Esse símbolo foi escolhido por uma razão religiosa para representar a cruz.

Para escrever uma soma de parcelas iguais, por exemplo, 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 ele contou quantas eram as parcelas, tomou o sinal de adição, + girou-o um pouco par a direita, expressando a ideia dessa forma: 9 x 6.

O sinal de multiplicação é o símbolo  ×. O símbolo é semelhante à letra minúscula x, mas é uma forma mais simétrica saltire, e tem usos diferentes. É também conhecido como Cruz de Santo André e como o sinal de dimensão.

 No século XVII, o sábio alemão Leibniz sugeriu uma importante mudança no sinal que indica uma multiplicação.

Para não confundir o sinal para a multiplicação criado por Ougthtred, “X” com uma letra do alfabeto, “x” ele passou a utilizar5 um ponto, “.”, para indicar uma multiplicação.

9 x 6 ficou 9 . 6.

           Onde x = .

Número e Numeral

Os grupos abaixo têm em comum a quantidade de elementos. Dizemos que eles têm o mesmo número de elementos.

Os nomes e os símbolos que usamos para representar os números chamam-se numerais.

Cada número tem um nome e é representado por um símbolo.

O numeral pode ser um símbolo gráfico, uma palavra ou um gesto.

Para representar um mesmo número podemos usar numerais diferentes.

Veja alguns numerais que representam o número três:

 

Na linguagem comum, costumamos usar a palavra número no lugar da palavra numeral.

Comumente usamos a palavra número (ideia) no lugar de numeral (a representação da ideia).

Atividades Para o Ensino da Contagem

Temos a seguir uma coletânea de atividades simples, objetivas e de fácil aplicação, bastante úteis para iniciar as crianças no processo de contagem. Com linguagem clara e acessível, espero contribuir com os colegas professores que trabalham nos anos iniciais do ensino fundamental com crianças ainda em processo de alfabetização matemática.

• Peça para a criança comparar, igualar grupos, reconhecer tipos de objetos em conjuntos e, em seguida, peça-lhe para identificar o número de itens em cada conjunto, chamando-os pelo nome e/ou por algum padrão (por exemplo, bater palmas ou tocando um sino o mesmo número de vezes que o número do conjunto).
• Use músicas associadas a contagem na prática de contar para frente, para trás, dois a dois, por cinco anos, por dezenas, etc.
• Peça a criança que conte objetos em voz alta. Observe como ele ou ela deixa-os individualmente em recipientes; comece por deixar cair um item de cada vez, depois duas de cada vez, e assim por diante.
• Manter o controle de pontuações dos jogos pode ser uma motivação e forma relevante de aplicar as habilidades de contagem. Por exemplo, a criança pode contar o número de pontos ganhos por indivíduos em um jogo de cartas, ou em um jogo de bola.
• Registro em fitas representando direções específicas para a prática independente do aluno. Por exemplo, usando uma bandeja com divisórias, o estudante poderia colocar certo número de itens na primeira seção, um número diferente de itens na segunda seção, e assim por diante.
• Solicite uma "caça ao tesouro". Diga à criança a localização de vários recipientes de objetos (dependendo da memória do estudante, a ele ou ela poderia ser dada uma localização de cada vez, ou várias ao mesmo tempo). A criança deve ir para os locais, obter o contêiner de objetos, contar o número no recipiente, e então ordenar os contêineres em seqüência numérica correta. O estudante pode, então, contar todos os itens para um total geral.
• O desenvolvimento de uma linha do tempo autobiográfico (em cooperação com a família de um aluno) exige que o aluno realmente trama eventos significativos seqüencialmente. Isto proporciona reforço de conceitos concretos em reta numérica e do valor e da seqüência de números, em um formato pessoalmente relevantes e interessantes.  
• Os alunos podem jogar um jogo chamado "Adivinhe Meu Número", para reforçar e praticar os conceitos de "maior do que" e "menor do que". Escreva um numeral entre 1 e 100 em um pedaço de papel sem informar ao aluno o número escolhido. Peça ao aluno que tente descobrir o segredo, pedindo que diga "maior que" e "menor que" ao dar pistas relacionado ao número secreto, mantendo o controle das respostas através de registro escrito. Por exemplo, se o professor escolheu o número 19, o aluno poderá perguntar se o número for maior que 10, ele ou ela, então, registrando as resposta dadas, A próxima pergunta seria se o número é 20 é maior que 10."; Ele ou ela iria gravar "20 > 10." orientação complementar pode ser fornecida pelo professor, se necessário, por exemplo, o aluno poderia ser dito que agora ele ou ela sabe o número que está em algum lugar entre 10 e 20. Papéis podem ser trocados, com o professor tendo que adivinhar o número do aluno. A pontuação é mantida, inserindo um registro para cada palpite; a pessoa com o menor número de contagens (adivinhando os números secretos com o menor número tentativas) ganha o jogo.

As Crianças, a Correspondência Um a Um e as e Habilidades de Contagem

A correspondência um a um está presente em diversas situações práticas vivenciadas diariamente pelas crianças. Elas podem colocar uma meia dentro de um sapato ou um sapato em um pé. Elas podem usar um guardanapo ou um lanche para cada membro da família ou de classe, pois elas podem colocar uma tampa em cada um dos vários recipientes usados durante o lanche. Só existe uma combinação para cada peça quebra-cabeças.

Uma vez que as crianças entendem essas relações que pode ligar um número a um objeto e, assim, contar com a compreensão. "A memorização de um conjunto de números é sem sentido e juntamente com a de contagem são habilidades que não devem ser ressaltadas até que a criança tenha mostrado abrangência de comparação, classificação, seriação, e em conjunto básico tanto quanto a qualidade do nível (atributos de objetos) e o nível de quantidade (valores em geral em grupos ou conjuntos). 

Quando os alunos estão prontos para desenvolver a habilidade de contar, eles podem se beneficiar de várias estratégias de aprendizagem para aumentar sua contagem em precisão e eficiência. Estudantes, às vezes, desenvolvem uma ou mais estratégias por conta própria, mas é para seu benefício que lhe forneçam formação nesta área. Tal como acontece com quaisquer conceitos ou habilidades, é importante começar a trabalhar com objetos reais e manipuláveis ​​e continuar fornecendo estas como objetos de aprendizagem. 

Objetos a serem contados são freqüentemente encontrados em um dos vários tipos de matrizes: linear, circular, retangular ou aleatória. Os seguintes passos podem ser úteis para crianças pequenas em identificar a situação de contagem, organizando-a, e manter o controle de seu progresso à medida que conta os itens na matriz. 

• Varredura - A criança move suas mãos na parte superior de cada item na matriz a ser contado, a fim de obter informações sobre os objetos e o campo geral sobre os quais eles estão espalhados. A criança também pode pegar e examinar itens e substituí-los na bandeja.

• Organizando-se - Os itens são exibidos aleatoriamente, a criança pode mover todos os itens para um lado, em preparação para a contagem. Se os itens já estão organizados de forma linear, a criança pode localizar o primeiro item da série e apontá-lo para confirmar de acordo com o que foi previamente combinado. 

• Particionamento - A criança pode contar itens individuais e mover itens contados para uma área separada na bandeja. A criança também pode pegar itens um de cada vez, dar-lhes um nome, e substituí-los além daqueles que ainda serão contados. A criança pode também individualmente tocar em cada item a ser contado com uma mão, dando o nome de cada numeral, enquanto a outra mão controla o próximo item a ser contado.

Números Racionais

Em jornais e revistas, na TV e na internet são comuns notícias com números registrados de diferentes maneiras, como nos exemplos a seguir:

Aqui estão mais alguns exemplos:

Número	Como uma fração	Racional?
5	01/05	Sim
1,75	04/07	Sim
0,001	1 / 1000	Sim
0,111 ...	09/01	Sim
√ 2 (Raiz quadrada de 2)	?	NÃO!

Se você precisar medir um comprimento em metros, pode ser que o resultado não seja um número natural. Por exemplo, pode ser um número entre 1 e 2. Como indicar essa parte do metro que está entre 1 e 2?

Para situações como essas, foram criados os números racionais.

A palavra racional se refere justamente à divisão. Sua origem é ratio, que, em latim, a antiga língua dos romanos, quer dizer divisão. Veja que até hoje usamos a palavra rateio com o significado de dividir. Por exemplo, ⅓ é um número racional. Ele é o resultado de 1:3.

Número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma a/b. a/b é o quociente da divisão de a por b, em que a e b são números naturais, e b deve ser diferente de zero. a : b = a/b, com b ≠ 0.

Números com vírgula, números em forma de porcentagem, números em forma de fração. Esses números são chamados números racionais. Números racionais expressam unidades ou partes da unidade.

Teorema de Pitágoras

Matemático e filósofo grego, Pitágoras viveu por volta de 572 a.C. Pitágoras foi um matemático grego do século VI a. C. ele descobriu uma relação métrica que, até hoje, é um dos mais famosos e importantes teoremas da Matemática Nasceu na ilha de Samos. Segundo alguns relatos é possível que tenha sido discípulo de Tales de Mileto. Ele viajou por muitos lugares, como Pérsia e Egito, mas foi em Crotona, onde atualmente é a Itália, que fundou uma escola mística secreta, chamada Escola Pitagórica, que consistia em um centro de estudos de Matemática, filosofia etc. Nela, a ciência era considerada um bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições científicas conquistadas não possuíam autoria individual.

Para a formação do seu famoso teorema, é possível que Pitágoras e seus discípulos tenham se baseados nos conhecimentos geométricos dos egípcios e em mosaicos que apareciam com frequência nas paredes das construções do Egito antigo.

O nome de Pitágoras é dado esse teorema por ter sido o primeiro a demonstrá-lo, apesar de os babilônios e os egípcios já o utilizarem em construções e medições de terras. Esse teorema estabelece uma relação entre os catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo:

Em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

Poderemos verificar essa relação por meio de figuras. Para isso, considere três quadrados; cada um construído a partir de um lado do triângulo retângulo.

Note que a área do quadrado construído a partir da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos a partir dos catetos.

Esse teorema também pode ser demonstrado utilizando algumas das relações métricas no triângulo retângulo. Observe:

Nesse triângulo, temos que b²  =  a . m e c²  =  a . n. adicionando essas relações membro a membro, temos:

b² + c² = a . m +  a . n. (fatoramos a . m +  a . n. colocando a em evidência)

b² + c² = a (m + n)  (temos a . a)

b² + c² = a . a

b² + c² = a²

Portanto, a² = b² + c²

Hipotenusa era o nome dado às cordas do instrumento musical chamado lira. Essas cordas formavam triângulos retângulos com os lados do instrumentos.

 

Estudante de Pitágoras

Pitágoras acreditava que todos os números eram racionais (pode ser escrita como uma fração), mas um dos seus alunos Hippasus provou (utilizando a geometria, pensa-se) que você não poderia representar a raiz quadrada de 2 como uma fração, e por isso era irracional.

No entanto Pitágoras não podia aceitar a existência de números irracionais, porque ele acreditava que todos os números tinham valores perfeito. Mas ele não podia negar Hippasus "números irracionais" e assim Hippasus foi jogado ao mar e se afogou!

Atividades

01. Pedro e João estão brincando em um balançador, como indica a figura:

A altura máxima que pode ser atingida por cada um dos amigos é de 60 cm e, a distância entre eles, 1,8 metro. Qual o comprimento do balançador? 

02.  Em um recente vendaval, um poste de luz quebrou-se em um ponto a 4 m de altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base, formando um triângulo retângulo. Utilizando o Teorema de Pitágoras, calcule o comprimento da extremidade do poste quebrada pelo vento.

 
 

03. As porteiras formadas por ripas paralelas precisam de um reforço na diagonal para não desmontar. A ripa na diagonal dá a rigidez necessária.  Antônio precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1,5 m de altura por 2 m de comprimento. Qual é o comprimento da tábua de que ele precisa?

POR UMA MATEMÁTICA MODERNA – E MAIS CONCRETA

Entrevista: Marcelo Viana

Vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática defende mudanças no ensino da disciplina, o que pode aproximar estudantes, números e inovação

 Nathalia Goulart

Criança aprende matemática na sala de aula (Getty Images)

O Brasil acumula alguns tristes índices de educação, especialmente na área de matemática. Os números provam isso: apenas 11% dos alunos do ensino médio concluem esse ciclo sabendo o que deveriam, de acordo com dados do movimento Todos Pela Educação. A mais recente medição apontou que o problema começa nas séries iniciais. Segundo a Prova ABC, ao fim do terceiro ano do ensino fundamental, metade das crianças não domina operações simples de soma e subtração. No Pisa, avaliação internacional aplicada pela OCDE, os alunos brasileiros estão 241 pontos atrás dos chineses, líderes do ranking, em matemática. Para Marcelo Viana, vice-presidente da Sociedade Brasileira da Matemática (SBM), o problema é provocado principalmente pela distância – no tempo e no espaço – entre a teoria abstrata que chega à sala de aula e o mundo concreto que se vê fora da escola. "No processo de transmissão desse conhecimento pela escola, os professores optam por apresentar a disciplina de maneira abstrata, ao invés de conectá-la à realidade", diz Viana. Atualizar a matemática das escolas e aproximá-la da realidade não implica simplificação, ressalva o matemático. Basta encontrar a maneira correta de fazê-lo. "É possível explicar tudo isso a qualquer estudante." Viana conversou com nossa reportagem sobre o desafio da matemática para a série de reportagens de VEJA sobre o impacto da educação e do ensino das ciências no desenvolvimento do país. Confira a seguir a entrevista.

Por que ensinar matemática é um desafio tão grande?
A matemática é um conjunto de conhecimentos abstratos que encontram uma correspondência com o mundo concreto. Porém, no processo de transmissão desse conhecimento pela escola, os professores optam por apresentar a disciplina de maneira abstrata, ao invés de conectá-la à realidade. O modo correto de fazer com que o estudante aprecie esse conhecimento não é começar pela teoria, mas, sim, relacionando o ensinamento com o cotidiano. Só então, chega-se à abstração, que é natural da matemática.

Alguns especialistas dizem essa dificuldade de aproximar teoria e prática é devida ao fato de o ensino da matemática estar parado no tempo. O senhor concorda?
Esse é um dos fatores. Leva-se muito tempo para incorporar as inovações da matemática nos currículos escolares. Isso é, na verdade, um problema antigo. No início do século XX, houve um esforço muito grande para que fossem incorporadas as inovações do século XIX. Agora, os especialistas estão empenhados em esforço similar, ou seja, de incorporar nos currículos do século XXI as transformações do século XX. As tecnologias, os novos programas, a internet – tudo isso transformou a matemática. O Google só foi possível com a matemática do século XX.

O senhor pode dar exemplos das transformações do século XX que precisam ser incorporadas?
Sim. A matemática discreta, por exemplo, por meio da qual medimos objetos muito grandes mas finitos e que é muito utilizada na ciência da computação. Outro ponto é a teoria do caos, que tem inúmeras aplicações para resolver problemas de grande complexidade em uma velocidade grande. Existem também os algoritmos, que são regras criadas para resolver problemas complexos, como se quiséssemos organizar por ordem alfabética os nomes dos 200 milhões de brasileiros.

É possível ensinar esse tipo de conteúdo para alunos da educação básica?
Com certeza. Algumas áreas são técnicas e exigem pré-requisitos elaborados. Mas existem muitos aspectos elementares desses conteúdos – digo elementares não por serem fáceis, mas por exigirem poucos pré-requisitos. É possível explicar tudo isso a qualquer estudante.

Para isso é preciso professores capacitados, correto? 
Sim. A dificuldade atualmente é a capacitação do professor, que é hoje um dos grandes gargalos da educação. A capacitação inicial e continuada desse profissional ainda é muito frágil.

Como fica nosso futuro científico se falharmos na missão de aproximar a matemática das crianças e dos jovens?
O Brasil conseguiu nas últimas décadas a façanha de construir um sistema científico sem ter uma educação razoável. Nossa ciência atingiu um patamar louvável para um país sem estrutura científica. Mas não é possível seguir dessa maneira. Precisamos dar um salto quantitativo e qualitativo para nos aproximar dos países mais desenvolvidos do mundo. A única forma de conseguir isso é universalizando o acesso à ciência, permitindo que ela chegue a todos e que todos possam se apaixonar e se dedicar a ela.

Como fazer isso?
É preciso inclusão. Temos boas escolas nos país. Nossos melhores alunos são comparáveis aos melhores alunos dos melhores países. Em competições internacionais, ganhamos diversas medalhas em matemática, física e robótica, por exemplo. O problema é que nosso nível médio é ruim. Nossos alunos medianos são ruins. É esse o grande problema da educação
.
O país está disposto a fazer esse investimento em ciência?
É o futuro do país que está em jogo. Se não investirmos nisso agora, não investiremos nunca mais. Está provado que é possível fazer essa revolução investindo em educação e democratização científica. A Noruega era um país em desenvolvimento até pouco tempo atrás. Graças ao investimento em educação, é uma grande nação. A Finlândia era um país em que os moradores migravam porque não havia oportunidade. Hoje, é referência em diversos campos. O Japão, idem. A China está se transformando e está investindo em ciência. Ela, um país continental como o nosso, mostra que é possível fazer isso em grande escala. Todos esses países se transformaram porque investiram.

Fonte:
http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/por-uma-matematica-moderna-%E2%80%93-e-mais-concreta

Triângulo Retângulo

Definição

Chamamos de triângulo retângulo aquele que possui ângulo reto (Ângulo de 90°). Dizemos que os outros ângulos são agudos (menores que 90°). O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.

As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, no triangulo retângulo os ângulos agudos são complementares, isto é, somam 90°.

Catetos e Hipotenusa

No triângulo retângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os lados opostos aos ângulos agudos.

Vértices

Os vértices são identificados com letras maiúsculas:

Vértice A, Vértice B e Vértice C.

Como calcular com exatidão e repetição sem usar o corpo humano?

A primeira máquina de calcular foi o corpo humano. Nessa máquina, o órgão de controle é o cérebro; o motor está nos órgãos vitais dos aparelhos digestivo e circulatório; a transmissão é feita pelos músculos; a ferramenta é representada pelas mãos e os cálculos são feitos pelos dedos.

A repetição mecânica de cálculos levou o homem a recriar instrumentos de calcular fora do seu corpo. Surgiram assim as máquinas de calcular que são muito úteis para agilizar os aspectos mais repetitivos da aritmética.

Uma vez dominadas as operações aritméticas básicas e conhecidos seus algoritmos, é possível usufruir da comodidade que seu uso oferece.

Da utilização dos dedos, passando pelo ábaco, a transferência da máquina de calcular para além do corpo humano completa-se atualmente com a criação do computador. Com ele, o último elemento da máquina humana, o cérebro mecânico, é transferido para um instrumento.

fonte: www.klickeducacao.com.br

Extracto de "Mafalda", de Quino.